Enigmi e giochi di logica - La somma di Gauss

Johannes Carl Friedrich Gauss, grandissimo matematico tedesco. Forse tra i più grandi in assoluto.

Famosissimo l’aneddoto, (e l’enigma) che riporto qui di seguito, in cui si narra che fosse monello da bimbo, e, all’età di 10 anni, fu punito dal maestro per aver fatto confusione in classe.

La punizione consisteva nel dover sommare tutti i numeri da 0 a 100 ed indicare il risultato. Solo dopo aver terminato avrebbe potuto uscire in cortile. A dire: niente ricreazione.

Poiché il buongiorno si vede dal mattino, Gauss consegnò allo stupito maestro la risposta corretta nel giro di nemmeno due minuti. Merendina e corsetta in cortile erano salve.

A questo punto le domande sorgono spontanee:
-Qual è la risposta corretta?
-Quale procedimento aveva utilizzato il piccolo Gauss per risolvere così rapidamente il problema evitando la noiosissima somma?

Zefiro ha scritto:

Johannes Carl Friedrich Gauss, grandissimo matematico tedesco. Forse tra i più grandi in assoluto.

Famosissimo l’aneddoto, (e l’enigma) che riporto qui di seguito, in cui si narra che fosse monello da bimbo, e, all’età di 10 anni, fu punito dal maestro per aver fatto confusione in classe.

La punizione consisteva nel dover sommare tutti i numeri da 0 a 100 ed indicare il risultato. Solo dopo aver terminato avrebbe potuto uscire in cortile. A dire: niente ricreazione.

Poiché il buongiorno si vede dal mattino, Gauss consegnò allo stupito maestro la risposta corretta nel giro di nemmeno due minuti. Merendina e corsetta in cortile erano salve.

A questo punto le domande sorgono spontanee:
-Qual è la risposta corretta?
-Quale procedimento aveva utilizzato il piccolo Gauss per risolvere così rapidamente il problema evitando la noiosissima somma?

Clicca per allargare...

troppo facile... almeno per chi come me in 5 anni di università avrà sentito parlare di questa storiella almeno un milione di volte

ALLORA??? Nessuno si vuole cimentare?

vabbé....questa la sapevo persino io... ! il mago dei numeri mi aveva fatto visita una notte.. ... non ricordo molto, ma c'era da costruire un triangolo con dei numeri dentro, mi pare.. e poi si aggiungeva un punto esclamativo... e poi c'era la marmottina che confezionava la cioccolata.. :YY

pigreco ha scritto:

troppo facile... almeno per chi come me in 5 anni di università avrà sentito parlare di questa storiella almeno un milione di volte

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Anche per chi ha studiato tutt’altro la storiella è famosa! :wink:

La conoscevo anch'io... Non so se sarei riuscito ad arrivare alla soluzione, forse sì perchè sono testardo, ma di sicuro non così rapidamente come Gauss.

La somma di Gauss - SOLUZIONE

Il risultato è 5050.

Gauss aveva rapidamente notato che poteva scrivere su due righe i 101 numeri che vanno da 0 a 100.

0 1 2 … 100
100 99 98 … 0

ottenendo così 101 colonne tutte con somma pari a 100. la somma di tutti i numeri risulta pertanto:
101x100=10100

Dal momento che entrambe le righe contengono la somma dei numeri da 0 a 100, occorre considerarne una sola, quindi:

10100:2=5050.

Estendendo e generalizzando il ragionamento di Zefiro, alla stessa maniera si può arrivare alla formula che fornisce la somma dei primi n numeri, dove n è un qualunque naturale. Tale numero lo possiamo indicare con Sn e l'espressione è la seguente:

Sn = (n*(n+1))/2

Nel caso della somma dei primi 100 numeri (n=100), S100 = (100*(100+1))/2 = (100*101)/2 = 10100/2 = 5050, che chiaramente è il risultato ottenuto da Zefiro nel caso specifico.

Esercizio per casa: dimostrare che questa formula è vera per ogni numero naturale utilizzando il principio di induzione...

Tra 0 e 100 ci sono 101 numeri.
Il loro valore medio è 50, infatti: (0 + 100)/2=50
50 X 101 = 5050